第4回 「粒子の動かし方」と「加速度の求め方」について
今回のコラムでは、粒子法で基本となる粒子の動かし方についてお話します。粒子の移動量（距離）は「距離=速度×時間※1」で表されますので速度の情報が必要です。その速度を求める（更新する）のに必要な加速度についてもお話します。
1. 粒子の動かし方
簡単に書くと、次のような手順で粒子を動かします。
[0] 初期時刻における全ての粒子の座標※2と速度\( \boldsymbol{u}\)※3を定める。
[1] ナビエ・ストークス方程式により粒子の加速度\( \boldsymbol{a}\)を求める。
[2] 求めた加速度に従って粒子の速度を更新（加速、減速、等速）させる。
[3] 更新した速度で粒子を少し移動させる。
[4] 手順[1]に戻って[1]～[3]を繰り返す※４。
いかがでしょうか。そんなに難しくないですよね。
2. 粒子の加速度の求め方
前節の手順[1]で、「ナビエ・ストークス方程式により粒子の加速度を求める」と書きました。ナビエ・ストークス方程式は、流体の運動方程式です。まずは運動方程式から説明します。運動方程式は、ある質量の物体に力\( \boldsymbol{F}\)が加わったときの物体の加速度\( \boldsymbol{a}\)を表す式であり、次式のように表されます。
$$ \boldsymbol{m} \boldsymbol{a}=\boldsymbol{F} $$この式の両辺を\(\boldsymbol{m}\)で割ると
$$ \boldsymbol{a}=\frac{\boldsymbol{F}}{\boldsymbol{m}} $$となります。この式は、物体に働く加速度は物体に働く力\( \boldsymbol{F}\)に比例し、質量\( \boldsymbol{m}\)に反比例するということを表します。式(2)の右辺（物体に働く力\( \boldsymbol{F}\)を質量\( \boldsymbol{m}\)で割った値）を計算すれば、加速度\( \boldsymbol{a}\)が求まるということです。流体の場合も同様です。ある流体の塊に働く力をその流体の塊の質量で割ることで、次式のように加速度が求まります。
$$ \boldsymbol{a}=-\frac{1}{\rho} \nabla P+\nu \nabla^{2} \boldsymbol{u}+\boldsymbol{g} $$この式(3)がナビエ・ストークス方程式です。様々な記号が使われていますが、拒絶反応を起さないでください。この式を簡単に説明すると、「流体の場合にはいくつかの力※５（この場合３つの力）が働くため、右辺のように複数の加速度成分の和として加速度は書ける」ということを表しています。粒子法では、式(3)の右辺を計算することで流体粒子の加速度\( \boldsymbol{a}\)を求めているのです。式(3)の右辺の各項の意味については補足※６を参照ください。各項の具体的な計算方法については参考文献1)に詳しく書かれていますので、興味がある人はぜひご参照ください。
1. 越塚誠一、柴田和也、室谷浩平、"粒子法入門"、丸善出版、2014年6月25日
補足：
※1：ここで時間は、時間刻みの幅 を意味します。流速や粒子の大きさにもよりますが、例えば \( \Delta\boldsymbol{t}=\boldsymbol{0.001}\)など十分小さな値に設定します。
※2：粒子の初期座標は、通常は粒子が等間隔に並ぶように定めます。この間隔は、初期粒子間距離と呼ばれ、粒子の大きさ（空間解像度）を表します。
※3：粒子の初速度は、解く問題に合わせて設定します。例えば、初期時刻に流体が静止していれば、全ての粒子の初期速度を\(\boldsymbol{0m/s}\)に設定します。
※4：圧力を陰的に求める場合は、若干手順が増えます。
※5：表面張力や他の外力が加わる場合は、さらに項の数が増えます。
※6：式(3)の右辺の第１項の\(-\frac{1}{\rho} \nabla P\)は圧力による加速度（圧力\( P\)の傾きに比例する力。マイナスがついているのは、圧力が高い方向ではなく低い方向に力が働くためである。）を表します。右辺第２項の\(\nu \nabla^{2} \boldsymbol{u}\)は粘性による加速度の項（流体の粘り気により運動量が拡散される項。\(\nu\)は動粘性係数。）を表す。右辺第３項の \(\boldsymbol{g}\)は重力項（鉛直下向きに約\(\boldsymbol{9.81m/s}\)の大きさを持つベクトル）です。
